计算二重积分∬D|xy|dxdy，其中D是圆域x2+y2≤a2．

Question

计算二重积分

∬

D

|xy|dxdy，其中D是圆域x²+y²≤a²．

Answer 1

设D₁是D在第一象限的部分，则D1＝{(r，θ)|0≤θ≤(π)/(2)，0≤r≤a}
由于二重积分

∬

D

|xy|dxdy的被积函数|xy|是关于x和y的偶函数，而区域D也是关于坐标轴对称的，
∴

∬

D

|xy|dxdy=4

∫∫

D1

|xy|dxdy
=4

∫

(π)/(2) 0

sinθcosθdθ

∫

a 0

r2•rdr
=a4•[−(1)/(4)cos2θ

]

(π)/(2) 0

＝(a4)/(4)