（2012•海淀区一模）在正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6

Question

（2012•海淀区一模）在正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（　　）

A．0
B．3
C．4
D．6

Answer 1

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．
①在Rt△AA′C中，tan∠AA′C＝(|AC|)/(|AA′|)=√(2)，因此∠AA′C≠45°．
同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为arctan√(2)≠45°．
故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为arctan√(2)≠45°，不满足条件；
②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则

BP

＝(−1，y，0)，

A′C

＝(1，1，1)．
若满足BP与AC^′所成的角为45°，则(√(2))/(2)＝|cos＜

BP

，

A′C

＞|=(|BP•A′C|)/(|BP| |A′C|)=(|−1+y|)/(√(1+y2)√(3))，化为y²+4y+1=0，无正数解，舍去；
同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；
③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），
则

BP

＝(−1，y，−1)，

A′C

＝(1，1，1)．
若满足BP与AC'所成的角为45°，则(√(2))/(2)＝|cos＜

BP

，

A′C

＞|=(|BP•A′C|)/(|BP| |A′C|)=(|−2+y|)/(√(2+y2)•√(3))，化为y²+8y-2=0，
∵0≤y≤1，解得y＝3√(2)−4，满足条件，此时点P(0，3√(2)−4，0)．
④同理可求得棱A′B′上一点P(√(3)−1，0，0)，棱A′A上一点P(0，0，√(3)−1)．
而其它棱上没有满足条件的点P．
综上可知：满足条件的点P有且只有3个．
故选B．