A为三阶实对称矩阵，R（A）=2，且A1100−11=−110011．（1）求A的特征值与特征向量．（2）求A．

Question

A为三阶实对称矩阵，R（A）=2，且A

1	1
0	0
−1	1

=

−1	1
0	0
1	1

．
（1）求A的特征值与特征向量．
（2）求A．

Answer 1

（1）
令：α1＝

1

0

−1

，α2＝

1

0

1

，
则：Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂，
从而：λ₁=-1，λ₂=1为A的特征值，且对应有特征向量α₁，α₂，
又∵R（A）=2，
∴A有特征值λ₃=0，
设其对应特征向量：α3＝

x1

x2

x3

，
由于A为实对称矩阵，
所以：α1Tα3＝0，α2Tα3＝0，
即：x₁-x₃=0，x₁+x₃=0，
∴α3＝

0

1

0

，
将α₁，α₂，α₃单位化可得：
γ1＝(1)/(√(2))

1

0

−1

，γ2＝(1)/(√(2))

1

0

1

，γ3＝

0

1

0

，
令：Q=（γ₁，γ₂，γ₃）=

(1)/(√(2))	(1)/(√(2))	0
0	0	1
−(1)/(√(2))	(1)/(√(2))	0

，
则：Q^TAQ=

−1	0	0
0	1	0
0	0	0

，
∴A=Q

−1	0	0
0	1	0
0	0	0

Q^T=

0	0	1
0	0	0
1	0	0

．