设A为mxn矩,并且r(A)=n,又B为n阶矩阵,求证1.如果AB=O,则B=O2.如果AB=A,则B=E

Question

设A为mxn矩,并且r(A)=n,又B为n阶矩阵,求证 1.如果AB=O,则B=O 2.如果AB=A,则B=E

Answer 1

记B=(b1,b2,……,bs) ,由AB=0 ,知b1,b2,……,bs是Ax=0的解
但并不能说b1,b2,……,bs构成了Ax=0的解空间S
解空间S:1)S中的向量组线性无关
2)Ax=0的解都能由S中的向量线性表示
显然b1,b2,……,bs不一定线性无关,所以B不一定是Ax=0的解空间S
但当r(B)=r时,能说明b1,b2,……,bs中有r个向量线性无关
即Ax=0的解空间S中至少有r个向量,即dimS≥r
由解空间维度的关系:dimS=n-r(A) ≥r
即n≥r(A)+r= r(A)+r(B)