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求老师指导,若矩阵A与B相似,m是一个正整数,证A^m与B^m相似
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求老师指导,若矩阵A与B相似,m 是一个正整数,证A^m与B^m相似
▼优质解答
答案和解析
利用反证法,根据矩阵相似的定义：
证明：
假设m-1时结论成立,即A^m-1与 B^m-1相似,有
P-1A^m-1P=B^m-1
成立.
又因为A与B相似,有
P^-1AP=B
所以
B^m= B^m-1B
= P^-1A^m-1P P^-1AP
= P^-1A^mP
即m时结论也成立,A^m与B^m相似.
证明：
假设m-1时结论成立,即A^m-1与 B^m-1相似,有
P-1A^m-1P=B^m-1
成立.
又因为A与B相似,有
P^-1AP=B
所以
B^m= B^m-1B
= P^-1A^m-1P P^-1AP
= P^-1A^mP
即m时结论也成立,A^m与B^m相似.
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