如图，二次函数图象的顶点是P（2，-1），与x轴交于点A和点B（3，0）（1）求这个二次函数的解析式；（2）点Q为第一象项的抛物线上一点，且AQ⊥PA．①求S△PAQ的值；②PQ交x轴于M，求MPMQ的值

Question

如图，二次函数图象的顶点是P（2，-1），与x轴交于点A和点B（3，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q为第一象项的抛物线上一点，且AQ⊥PA．
①求S_△PAQ的值；
②PQ交x轴于M，求(MP)/(MQ)的值．

Answer 1

（1）设二次函数顶点式解析式y=a（x-2）²-1（a≠0），
将点B（3，0）代入得，a（3-2）²-1=0，
解得a=1，
所以，函数解析式为y=（x-2）²-1=x²-4x+3，
即y=x²-4x+3；

（2）①令y=0，则x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
所以，点A的坐标为（1，0），
∵顶点P（2，-1），
∴∠PAB=45°，
∵AQ⊥PA，
∴∠BAQ=90°-45°=45°，
∴直线AQ的解析式为y=x-1，
联立

y＝x2−4x+3

y＝x−1

，
解得

x1＝1

y1＝0

，

x2＝4

y2＝3

，
∴点Q的坐标为（4，3），
由勾股定理得，AP=√((2−1)2+(−1−0)2)=√(2)，
AQ=√((4−1)2+(3−0)2)=3√(2)，
∴S_△PAQ=(1)/(2)×√(2)×3√(2)=3；

②∵点P（2，-1），Q（4，3），
∴S_△APM：S_△AMQ=1：3，
∵点A到PQ的距离相等，
∴(MP)/(MQ)=(S△APM)/(S△AMQ)=(1)/(3)．