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已知对于自然数a,存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式,它有两个小于1的正根,求证:a≥5.
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已知对于自然数a,存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式,它有两个小于1的正根,求证:a≥5.
▼优质解答
答案和解析
证明:设二次三项式为:f(x)=a(x-x1)(x-x2),a∈N.
依题意知:0<x1<1,0<x2<1,且x1≠x2.于是有
f(0)>0,f(1)>0.
又f(x)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式,
所以f(0)=ax1x2,f(1)=a•(1-x1)(1-x2)为正整数
故f(0)≥1,f(1)≥1.
从而f(0)•f(1)≥1.①
另一方面,
x1(1-x1)≤
,x2(1-x2)≤
且由x1≠x2知等号不同时成立,所以
x1(1-x1)x2(1−x2) <
a2x1(1-x1)x2(1-x2)<
a2
由①、②得,a2>16.又a∈N,所以a≥5.
依题意知:0<x1<1,0<x2<1,且x1≠x2.于是有
f(0)>0,f(1)>0.
又f(x)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式,
所以f(0)=ax1x2,f(1)=a•(1-x1)(1-x2)为正整数
故f(0)≥1,f(1)≥1.
从而f(0)•f(1)≥1.①
另一方面,
x1(1-x1)≤
1 |
4 |
1 |
4 |
且由x1≠x2知等号不同时成立,所以
x1(1-x1)x2(1−x2) <
1 |
16 |
a2x1(1-x1)x2(1-x2)<
1 |
16 |
由①、②得,a2>16.又a∈N,所以a≥5.
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