二次方程有整根条件一元二次方程有整数解的条件是什么?

Question

二次方程有整根条件
一元二次方程有整数解的条件是什么?

Answer 1

您好!
元二次方程ax^2+bx+c=0 有整数根的必要条件是△=b^2-4ac为一有理数的完全平方数.
（反证）若△不是一有理数的完全平方数,则根号△一定是无理数.
一．从韦达定理入手
例1．已知a 、b为质数且是方程X2-13X+c=0的根,那么a/b+b/a的值是（ ）
A.127/22 B.125/22 C. 123/22 D.121/22
设a小于b
∵a 、b是方程X2-13X+c=0的根
∴a+b=-（-13）,a×b=c
又∵a 、b是质数,13是奇数
∴a=2,b=11
∴a/b+b/a=b/a+a/b=2/11+11/2=125/22
故选B
二．从判别式入手
例2.当m为整数时,关于X的方程（2m-1）X2-（2m+1）X+1=0是否有有理根?如果有,求出m的值；如果没有,请说明理由,
没有.证明如下：
△ =（2m+1）2-4（2m-1）×1=4m2-4m+5=（2m-1）2+4
设（2m-1）2+4=n2
∴n2-（2m-1）2=4
∴（n+2m-1）（n-2m+1）=4
∵n+（2m-1）与n-（2m-1）奇偶性相同
故只可能有 或 ,
解得2m-1=0
此与m为整数矛盾,故△不可能为完全平方数,方程不可能有理根.
三．从更变主元入手
例3.若关于X的方程a X2+2（a-3）X=（a-13）=0至少有一个整数根,求非负整数a的值.

∵a X2+2（a-3）X=（a-13）=0
∴（X2+2X+1）a-（13+6X）=0
∴a=13+6X/（X+1）2≥1
∴13+6X≥（X+1）2
∴X2-4X-12≤0
∴-2≤X≤6且X≠-1
∴X=-2,0,1,2,3,4,5,6
当X=-2时,a=13+6X/（X+1）2=1
当X=0时,a=13+6X/（X+1）2=13
当X=1时,a=13+6X/（X+1）2=19/4舍去
当X=2时,a=13+6X/（X+1）2=25/9舍去
当X=3时,a=13+6X/（X+1）2=31/16舍去
当X=4时,a=13+6X/（X+1）2=37/25舍去
当X=5时,a=13+6X/（X+1）2=43/36舍去
当X=6时,a=13+6X/（X+1）2=49/49=1
故a的值是1或13.