a的平方加b的平方加c的平方加d的平方等于4abcd.求证a=b=c=d.额应该是4次方

Question

a的平方加b的平方加c的平方加 d的平方等于4abcd.求证a=b=c=d.
额 应该是4次方

Answer 1

证明：∵a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
∴2(a^4+b^4+c^4+d^4)=2*4abcd
两边减去 2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*d^2+d^2*a^2) 得
2(a^4+b^4+c^4+d^4)-2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*d^2+d^2*a^2)=2*4abcd-2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*d^2+d^2*a^2)
(a^2+b^2)^2+(b^2+c^2)2+(c^2+d^2)^2+(d^2+a^2)^2=-2(ab-cd)^2-2(bc-da)^2
合并,得 (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)2+(c^2-d^2)^2+(d^2-a^2)^2+2(ab-cd)^2+2(bc-da)^2=0
则 (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)2+(c^2-d^2)^2+(d^2-a^2)^2+2(ab-cd)^2+2(bc-da)^2=0
从而 a^2=b^2=c^2=d^2
∴a=b=c=d