（2014•青浦区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=43，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E，设AD=x．（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；（2）当△BED

Question

（2014•青浦区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=(4)/(3)，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E，设AD=x．
（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；
（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果y=(DE)/(DB)，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，tanA=(4)/(3)，
∴BC=8，AC=6，
∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=BD=5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△ACB，
∴(DE)/(CD)=(AC)/(BC)，即(DE)/(5)=(6)/(8)，
则DE=(15)/(4)；

（2）分两种情况情况：
（i）当E在BC边长时，
∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠A，
∴CD=AC，
作CH⊥AB，垂足为H，那么AD=2AH，
∴(AH)/(AC)=(3)/(5)，即AH=(18)/(5)，
∴AD=(36)/(5)，即x=(36)/(5)；
（ii）当E在CB延长线上时，
∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角，
∴BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=8，
∴AD=x=AB-BD=10-8=2；

（3）作DM⊥BC，垂足为M，
∵DM∥AC，
∴(DM)/(AC)=(BM)/(BC)=(BD)/(BA)，
∴DM=(3)/(5)（10-x），BM=(4)/(5)（10-x），
∴CM=8-(4)/(5)（10-x）=(4)/(5)x，CD=√(x2−(36)/(5)x+36)，
∵△DEM∽△CDM，
∴(DE)/(DM)=(CD)/(CM)，即DE=(DM•CD)/(CM)=(3(10−x))/(4x)√(x2−(36)/(5)x+36)，
∴y=(DE)/(DB)=((3(10−x))/(4x)√(x2−(36)/(5)x+36))/(10−x)，
整理得：y=(3)/(20x)√(25x2−180x+900)（0＜x＜10）．