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（2014•遵义）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．（1）求证：CF=DB；（2）当AD=3时，试求E点到C
题目详情
（2014•遵义）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．（1）求证：CF=DB；
（2）当AD=
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▼优质解答
答案和解析
（1）证明：连结AE，如图，
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE，
CD∥BF，
∴∠DCE=∠FBE，
在△DCE和△FBE中，
，
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE，
∴四边形BDCF为平行四边形，
∴CF=DB；
（2）作EH⊥CF于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AD=
，
∴DC=
AD=1，AC=2CD=2，
∴AB=AC=2，BF=CD=1，
∴AF=3，
在Rt△ABD中，BD=
=
，
在Rt△ADF中，DF=
=2
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE，
CD∥BF，
∴∠DCE=∠FBE，
在△DCE和△FBE中，
|
∴△DCE≌△FBE（ASA），
∴DE=FE，
∴四边形BDCF为平行四边形，
∴CF=DB；
（2）作EH⊥CF于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AD=
| 3 |
∴DC=
| ||
| 3 |
∴AB=AC=2，BF=CD=1，
∴AF=3，
在Rt△ABD中，BD=
| AD2+AB2 |
| 7 |
在Rt△ADF中，DF=
| AD2+AF2 |
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