如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF（如图1）；（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条

Question

如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．

（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF（如图1）；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF=BE-CF；
（3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明．

Answer 1

（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，

∠BEA＝∠AFC

∠EBA＝∠FAC

AB＝AC

∴△BEA≌△AFC，
∴EA=FC，BE=AF，
∴EF=EA+AF=BE+CF．

（2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，

∠EBA＝∠FAC

∠BEA＝∠CFA

AB＝AC

∴△BEA≌△AFC，
∴EA=FC，BE=AF，
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF．

（3）EF=CF-BE，
理由是：：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，

∠EBA＝∠FAC

∠BEA＝∠CFA

AB＝AC

∴△BEA≌△AFC，
∴EA=FC，BE=CF，
∵EF=EA-AF，
∴EF=CF-BE．