设f（x，y）连续，且f（x，y）=xy+∫∫Df（u，v）dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f（x，y）等于（）A．xyB．2xyC．xy+18D．xy+1

Question

设f（x，y）连续，且f（x，y）=xy+

∫∫

D

f（u，v）dudv，其中D是由y=0，y=x²，x=1所围区域，则f（x，y）等于（　　）

A．xy
B．2xy
C．xy+(1)/(8)
D．xy+1

Answer 1

【解法1】令

∬

D

f(u，v)dudv＝A，则 f（x，y）=xy+A，所以
A=

∬

D

f(u，v)dudv=

∬

D

f(x，y)dxdy
=

∬

D

（xy+A）dxdy
=

∫

1 0

dx

∫

x2 0

(xy+A)dy
=(1)/(3)A+(1)/(12)，
所以 由 A=(1)/(3)A+(1)/(12) 可得，A=(1)/(8)．
所以
f（x，y）=xy+(1)/(8)．
故选：C．
【解法2】因为f（x，y）=xy+

∫∫

D

f（u，v）dudv，
等式两边在区域D上积分，则有
 

∬

D

f(x，y)dxdy 
=

∬

D

xydxdy+

∬

D

(

∬

D

f(u，v)dudv)dxdy
=

∬

D

xydxdy+

∬

D

dxdy

∬

D

f(u，v)dudv（∵

∬

D

f(u，v)dudv是一个常数）
=

∬

D

xydxdy+

∬

D

dxdy

∬

D

f(x，y)dxdy（∵积分值与积分变量无关）．
因为

∬

D

xydxdy=

∫

1 0

dx

∫

x2 0

xydy=(1)/(2)

∫

1 0

x5dx=(1)/(12)，

∬

D

dxdy=

∫

1 0

dx

∫

x2 0

dy=

∫

1 0

x2dx=(1)/(3)，
所以

∬

D

f(x，y)dxdy=(1)/(12)+(1)/(3)

∬

D

f(x，y)dxdy，
从而

∬

D

f(x，y)dxdy=(1)/(8)．
代入方程可得，
f（x，y）=xy+(1)/(8)．
故选：C．