如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=mx（x>0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．（1）m=；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E

Question

如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y= (m)/(x)（x>0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．

（1）m=___；
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=(m)/(x)（x>0）的图象上，
∴m=1×4=4，
故答案为：4．
（2）∵点B（2，a）在反比例函数y=(4)/(x)的图象上，
∴a=(4)/(2)=2，
∴B（2，2）．
设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，
∴

4=k+b

2=2k+b

，解得：

k=-2

b=6

，
∴过点A、B的直线的解析式为y=-2x+6．
当y=0时，有-2x+6=0，
解得：x=3，
∴点C的坐标为（3，0）．
（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0）．
①当∠ABE=90°时（如图1所示），∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），
∴B是AC的中点，
∴EB垂直平分AC，EA=EC=n+3．
由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，即4²+（x+1）²=（x+3）²，
解得：x=-2，
此时点E的坐标为（-2，0）；
②当∠BAE=90°时，∠ABE>∠ACD，
故△EBA与△ACD不可能相似；
③当∠AEB=90°时，∵A（1，4），B（2，2），
∴AB=√(5)，2>(√(5))/(2)，
∴以AB为直径作圆与x轴无交点（如图3），
∴不存在∠AEB=90°．
综上可知：在x轴上存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似，点E的坐标为（-2，0）．