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如图,点A(1,4)、B(2,a)在函数y=mx(x>0)的图象上,直线AB与x轴相交于点C,AD⊥x轴于点D.(1)m=;(2)求点C的坐标;(3)在x轴上是否存在点E,使以A、B、E
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如图,点A(1,4)、B(2,a)在函数y=
(x>0)的图象上,直线AB与x轴相交于点C,AD⊥x轴于点D.
![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852650-4102.jpg)
(1)m=___;
(2)求点C的坐标;
(3)在x轴上是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.
m |
x |
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(1)m=___;
(2)求点C的坐标;
(3)在x轴上是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点A(1,4)在反比例函数y=
(x>0)的图象上,
∴m=1×4=4,
故答案为:4.
(2)∵点B(2,a)在反比例函数y=
的图象上,
∴a=
=2,
∴B(2,2).
设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852650-6757.jpg)
∴
,解得:
,
∴过点A、B的直线的解析式为y=-2x+6.
当y=0时,有-2x+6=0,
解得:x=3,
∴点C的坐标为(3,0).
(3)假设存在,设点E的坐标为(n,0).
①当∠ABE=90°时(如图1所示),∵A(1,4),B(2,2),C(3,0),![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852650-8482.jpg)
∴B是AC的中点,
∴EB垂直平分AC,EA=EC=n+3.
由勾股定理得:AD2+DE2=AE2,即42+(x+1)2=(x+3)2,
解得:x=-2,
此时点E的坐标为(-2,0);
②当∠BAE=90°时,∠ABE>∠ACD,
故△EBA与△ACD不可能相似;![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852650-9162.jpg)
③当∠AEB=90°时,∵A(1,4),B(2,2),
∴AB=
,2>
,
∴以AB为直径作圆与x轴无交点(如图3),
∴不存在∠AEB=90°.
综上可知:在x轴上存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似,点E的坐标为(-2,0).
m |
x |
∴m=1×4=4,
故答案为:4.
(2)∵点B(2,a)在反比例函数y=
4 |
x |
∴a=
4 |
2 |
∴B(2,2).
设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b,
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∴
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∴过点A、B的直线的解析式为y=-2x+6.
当y=0时,有-2x+6=0,
解得:x=3,
∴点C的坐标为(3,0).
(3)假设存在,设点E的坐标为(n,0).
①当∠ABE=90°时(如图1所示),∵A(1,4),B(2,2),C(3,0),
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∴B是AC的中点,
∴EB垂直平分AC,EA=EC=n+3.
由勾股定理得:AD2+DE2=AE2,即42+(x+1)2=(x+3)2,
解得:x=-2,
此时点E的坐标为(-2,0);
②当∠BAE=90°时,∠ABE>∠ACD,
故△EBA与△ACD不可能相似;
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③当∠AEB=90°时,∵A(1,4),B(2,2),
∴AB=
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∴以AB为直径作圆与x轴无交点(如图3),
∴不存在∠AEB=90°.
综上可知:在x轴上存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似,点E的坐标为(-2,0).
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