如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明

Question

如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；
（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

Answer 1

（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，
∴∠APB=60°，
又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，
∴∠ABP=30°，
∴∠PAB=90°，
∴BP=2AP，
∵AP=2，
∴BP=4；
（2）结论：PA+PC=PB．
证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，
∵∠APB=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°，
∴∠1=∠2，PA=PD，
在△ABD与△ACP中，

PA=PD

∠1=∠2

AB=AC

，
∴△ABD≌△ACP，
∴PC=BD，
∴PA+PC=PB；
（3）结论：√(3)PA+PC=PB．
证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，
∴AP=AD，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠APB=30°，
∴∠DAP=120°，
∴∠1=∠2，
在△ABD与△ACP中，

AB=AC

∠2=∠1

AD=AP

，
∴△ABD≌△ACP，
∴BD=PC，
∵AF⊥PD，
∴PF=(√(3))/(2)AP，
∴PD=√(3)AP，
∴√(3)PA+PC=PB．