如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA=34，点D、E分别是边BC、AC上的点，且∠EDC=∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在AB上，则DE的长为．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA=(3)/(4)，点D、E分别是边BC、AC上的点，且∠EDC=∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在AB上，则DE的长为 ___ ．

Answer 1

把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O点，如图，
∴DE⊥CF，OC=OF，
∵∠EDC+∠OCD=90°，∠1+∠OCD=90°，
∴∠1=∠EDC，
而∠EDC=∠A，
∴∠1=∠A，
∴FC=FA，
同理可得FC=FB，
∴CF=(1)/(2)AB，
∴OC=(1)/(4)AB，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，
∴cotA=(AC)/(BC)=(3)/(4)，
∴BC=4，
∴AB=√(AC2+BC2)=5，
∴OC=(5)/(4)，
在Rt△OEC中，cot∠1=cot∠A=(OC)/(OE)，即(3)/(4)=((5)/(4))/(OE)，
∴OE=(5)/(3)，
在Rt△ODC中，cot∠ODC=cot∠A=(OD)/(OC)，即(OD)/((5)/(4))=(3)/(4)，
∴OD=(15)/(16)，
∴DE=OD+OE=(15)/(16)+(5)/(3)=(125)/(48)．
故答案为(125)/(48)．