如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明：BD2=AB2+BC2．

Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明：BD²=AB²+BC²．

Answer 1

证明：如图，连接AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是正三角形．
∴DC=CA=AD．
将△DCB绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置，连接EB，
∴DB=AE，CB=CE，∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠BCD-∠ACB=∠ACD=60°，
∴△CBE为正三角形．
∴BE=BC，∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE²=AB²+BE²．
∴BD²=AB²+BC²．