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(2013•仓山区模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,CB=CA=4,∠A的平分线交BC于点D,若点P、Q分别是AC和AD上的动点,则CQ+PQ的最小值是2222.
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(2013•仓山区模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,CB=CA=4,∠A的平分线交BC于点D,若点P、Q分别是AC和AD上的动点,则CQ+PQ的最小值是
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▼优质解答
答案和解析
如图,作点P关于直线AD的对称点P′,连接CP′交AD于点Q,则CQ+PQ=CQ+P′Q=CP′.
∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q,
∴∠PAQ=∠P′AQ.
又∵AD是∠A的平分线,点P在AC边上,点Q在直线AD上,
∴∠PAQ=∠BAQ,
∴∠P′AQ=∠BAQ,
∴点P′在边AB上.
∵当CP′⊥AB时,线段CP′最短.
∵在△ABC中,∠C=90°,CB=CA=4,
∴AB
=4
,且当点P′是斜边AB的中点时,CP′⊥AB,
此时CP′=
AB=2
,即CQ+PQ的最小值是2
.
故填:2
.
∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q,
∴∠PAQ=∠P′AQ.
又∵AD是∠A的平分线,点P在AC边上,点Q在直线AD上,
∴∠PAQ=∠BAQ,
∴∠P′AQ=∠BAQ,
∴点P′在边AB上.
∵当CP′⊥AB时,线段CP′最短.
∵在△ABC中,∠C=90°,CB=CA=4,
∴AB
CB2+CA2 |
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此时CP′=
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故填:2
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