（2014•三明）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇

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（2014•三明）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．
（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；
（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

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答案和解析

（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，
∴OC=0B=OA=5．
∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．
∵∠DOE=∠B，
∴∠FOC=∠OCF．
∴FC=FO．
∴△COF是等腰三角形．

过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，
∵FC=FO，FH⊥OC，
∴CH=OH=

，∠CHF=90°．
∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，
∴△CHF∽△BCA．
∴

．
∵CH=

，AB=10，BC=6，
∴CF=

．
∴CF的长为

．

（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，

则有∠NMO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠NMO=∠B．
∵∠A=∠A，
∴△AOM∽△ACB．
∴

．
∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵AO=5，AC=8，AB=10，
∴AM=

．
∴CM=AC-AM=

．
②若△OMN∽△BOC，如图3，

则有∠MNO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠MNO=∠B．
∵∠ACO=∠A，
∴△CON∽△ACB．
∴

．
∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，
∴ON=

，CN=

．
过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，
∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，
∴∠MNO=∠MON．
∴MN=MO．
∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，
∴NG=OG=

．
∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，
∴△MGN∽△ACB．
∴

．
∵GN=

，BC=6，AB=10，
∴MN=

．
∴CM=CN-MN=

．
∴当CM的长是

或