如图，△ABC中，∠C=90°．（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AC=4，BC=3，求CP的长．

Question

如图，△ABC中，∠C=90°．

（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AC=4，BC=3，求CP的长．

Answer 1

（1）如图，点P即为所求；
（2）作PD⊥AB于点，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中

AP=AP

PC=PD

，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴AD=AC=4，
在Rt△ABC中，AB=√(32+42)=5，
，∴BD=5-4=1，
设PC=x，则PD=x，BP=3-x，
在Rt△BDP中，∵PD²+BD²=PB²，
∴（3-x）²=x²+1²，解得x=(4)/(3)．
答：CP的长为(4)/(3)．