如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD（1）如图（1），点D在半圆BC上时，求证：BD+CD=2AD；（2）如图（2），点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系：CD-BD=2AD

题目详情

如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD
（1）如图（1），点D在半圆BC上时，求证：BD+CD=

AD；
（2）如图（2），点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系：

CD-BD=

；
（3）在（2）的条件下，如图（3），CD与AB交于点E，连接AO交CD于F，若AE=3BE，AF=

，求⊙O的直径．

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：

作MA⊥AD，交DB延长线于M，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠3=90°=∠1+∠2，
∴∠2=∠3，
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠4=∠ACD，
在△ACD和△ABM中

∠2＝∠3

AC＝AB

∠ACD＝∠4

，
∴△ACD≌△ABM（ASA），
∴AM=AD，CD=BM，
∵∠MAD=90°，
∴△MAD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DM=

AD，
∵DM=DB+BM=DB+CD，
∴BD+CD=

AD；

（2）CD-BD=

AD．
理由是：如图2，在CD上截取CN=BD，连接AN，
∵弧AD=弧AD，
∴∠ACN=∠ABD，
在△ACN和△ABD中

AC＝AB

∠ACN＝∠ABD

CN＝BD

，
∴△ACN≌△ABD（SAS），
∴AD=AN，∠CAN=∠BAD，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠DAN=∠DAB+∠BAN=90°，
∴△DAN是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DN=

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