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如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,将一块三角板AHP中含45°角的顶点放在点A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边AP所在的直线交直线BC于点D,直角边AH所在的直
题目详情
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,将一块三角板AHP中含45°角的顶点放在点A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边AP所在的直线交直线BC于点D,直角边AH所在的直线交直线BC于点E.
(1)在线段BC上取一点M,连接AM,若AD平分∠BAM,求证:AE平分∠MAC;
(2)如图1当0°<α≤45°时,求证:BD2+CE2=DE2;
(3)继续旋转三角板,当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,现请你继续探究:当135°<α<180°时(如图2),等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立.说明理由.
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(1)在线段BC上取一点M,连接AM,若AD平分∠BAM,求证:AE平分∠MAC;
(2)如图1当0°<α≤45°时,求证:BD2+CE2=DE2;
(3)继续旋转三角板,当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,现请你继续探究:当135°<α<180°时(如图2),等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立.说明理由.
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=90°-45°=45°,∠DAM+∠MAE=45°,
∵AD平分∠BAM,
∴∠BAD=∠DAM,
∴∠MAE=∠EAC,
∴AE平分∠MAC;
(2)将△ABD沿AD对折得到△AFD,连接EF,
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由对折可得:∠BAD=∠FAD,AB=AF,BD=DF,
∵∠BAD=∠FAD,
∴由(1)可知,∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2.
(3)当135°<α<180°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,
如图2,设AB与EF相交于点G.
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∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,
∴AF=AB,∠AFD=∠ABD=135°,∠BAD=∠FAD.
又∵AC=AB,
∴AF=AC.
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE.
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°.
∴∠DFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2.
∴∠BAD+∠EAC=90°-45°=45°,∠DAM+∠MAE=45°,
∵AD平分∠BAM,
∴∠BAD=∠DAM,
∴∠MAE=∠EAC,
∴AE平分∠MAC;
(2)将△ABD沿AD对折得到△AFD,连接EF,
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由对折可得:∠BAD=∠FAD,AB=AF,BD=DF,
∵∠BAD=∠FAD,
∴由(1)可知,∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
|
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2.
(3)当135°<α<180°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,
如图2,设AB与EF相交于点G.
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∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,
∴AF=AB,∠AFD=∠ABD=135°,∠BAD=∠FAD.
又∵AC=AB,
∴AF=AC.
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE.
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
|
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°.
∴∠DFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2.
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