（2012•嘉定区二模）已知△ABC中，∠ACB=90°（如图），点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB．（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说

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（2012•嘉定区二模）已知△ABC中，∠ACB=90°（如图），点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB．
（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；
（2）设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长和面积；
（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，

的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

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答案和解析

（1）依题意，点P既在∠ACB的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上．
如图1，作∠ACB的平分线CP，作线段AB的垂直平分线PM，CP与PM的交点即为所求的P点．
△ABP是等腰直角三角形．
理由如下：过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F（如图2）．
∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，
∴PE=PF．
在Rt△APE与Rt△BPF中，
∵

PE＝PF

PA＝PB

，
∴Rt△APE≌Rt△BPF．
∴∠APE=∠BPF，
∵∠PEC=90°，∠PFC=90°，∠ECF=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠APB=90°．
又∵PA=PB，
∴△ABP是等腰直角三角形．

（2）如图2，∵在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，

∴AB=

m，
由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，
在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，
∴CE=PE=

n，
∴CA+CB=2CE=

n，
∴△ABC的周长为=AB+BC+CA=

n．
∵S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC-S_△PAB
=<