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如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=60°,AB+DC=BC.(1)如图1,连结AC、BD,求证:AC=BD;(2)如图2,∠BAD与∠ADC的平分线相交于E点,求∠E的度数;(3)如图3,若AB=6,CD=3,点P为BC上一点,且
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如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=60°,AB+DC=BC.
(1)如图1,连结AC、BD,求证:AC=BD;
(2)如图2,∠BAD与∠ADC的平分线相交于E点,求∠E的度数;
(3)如图3,若AB=6,CD=3,点P为BC上一点,且∠APD=60°,试判断△APD的形状,并说明理由.
(1)如图1,连结AC、BD,求证:AC=BD;
(2)如图2,∠BAD与∠ADC的平分线相交于E点,求∠E的度数;
(3)如图3,若AB=6,CD=3,点P为BC上一点,且∠APD=60°,试判断△APD的形状,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)在CB上取CE=CD,连接DE,AE,如图1:
,
∵AB+DC=BC,
∴AB=BE,
∵∠ABC=∠BCD=60°,
∴△ABE与△CDE均为等边三角形,
∴AE=BE,DE=CE,
∴∠AEB=∠CED=60°,
∴∠BED=∠AEC=120°,
在△BED与△AEC中,
,
∴△BED≌△AEC(SAS),
∴AC=BD;
(2)在四边形ABCD中,∠B=∠C=60°,
∴∠BAD+∠ADC=240°,
∵AE,DE分别是∠BAD,∠ADC的平分线,
∴∠EAD+∠EDA=
(∠BAD+∠ADC)=120°,
∴∠E=60°;
(3)如图2,
∵∠APD=60°,
∴∠APB+∠CPD=120°,
∵∠ABP=60°,
∴∠BAP+∠APB=120°,
∴∠BAP=∠CPD,
∵∠B=∠C=60°,
∴△ABP∽△PCD,
∴
=
=
,
∵AB=6,CD=3,BC=9,
∴
=
,
∴BP(9-BP)=18,
解得:BP=3,或BP=6,
当BP=3时,
=1,即AP=PD,
∵∠APD=60°,
∴△APD是等边三角形;
当BP=6时,PC=3,可得△ABP和△CDP均为等边三角形,
∴AP=6,DP=3,即AP=2DP,取AP的中点E,连接DE,
可得:PE=PD,
∵∠APD=60°,
∴△EPD是等边三角形,
∴ED=EP=EA,
∴D点在以AP为直径的圆上,
∴△APD是直角三角形.
,
∵AB+DC=BC,
∴AB=BE,
∵∠ABC=∠BCD=60°,
∴△ABE与△CDE均为等边三角形,
∴AE=BE,DE=CE,
∴∠AEB=∠CED=60°,
∴∠BED=∠AEC=120°,
在△BED与△AEC中,
|
∴△BED≌△AEC(SAS),
∴AC=BD;
(2)在四边形ABCD中,∠B=∠C=60°,
∴∠BAD+∠ADC=240°,
∵AE,DE分别是∠BAD,∠ADC的平分线,
∴∠EAD+∠EDA=
1 |
2 |
∴∠E=60°;
(3)如图2,
∵∠APD=60°,
∴∠APB+∠CPD=120°,
∵∠ABP=60°,
∴∠BAP+∠APB=120°,
∴∠BAP=∠CPD,
∵∠B=∠C=60°,
∴△ABP∽△PCD,
∴
AB |
PC |
BP |
CD |
AP |
PD |
∵AB=6,CD=3,BC=9,
∴
6 |
9-BP |
BP |
3 |
∴BP(9-BP)=18,
解得:BP=3,或BP=6,
当BP=3时,
AP |
PD |
∵∠APD=60°,
∴△APD是等边三角形;
当BP=6时,PC=3,可得△ABP和△CDP均为等边三角形,
∴AP=6,DP=3,即AP=2DP,取AP的中点E,连接DE,
可得:PE=PD,
∵∠APD=60°,
∴△EPD是等边三角形,
∴ED=EP=EA,
∴D点在以AP为直径的圆上,
∴△APD是直角三角形.
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