如图，△ABC和△AED是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点D、E在∠BAC的外部，连结DC、BE．（1）求证：BE=CD；（2）若将△AED绕点A旋转，直线CD交直线AB于点G，交直线BE于点K．若AC=8，GA=2，试求G

Question

如图，△ABC和△AED是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点D、E在∠BAC的外部，连结DC、BE．
（1）求证：BE=CD；
（2）若将△AED绕点A旋转，直线CD交直线AB于点G，交直线BE于点K．若AC=8，GA=2，试求GC•KG的值．

Answer 1

（1）∵∠BAC=∠EAD=90°
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
∴∠CAD=∠BAE，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC

∠BAE=∠CAD

AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD；

（2）当点G在线段AB上时（如图1）
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠CGA=∠BGK，
∴△CGA∽△BGK，
∴(AG)/(KG)=(GC)/(GB)，
∴AG•GB=GC•KG，
∵AC=8，
∴AB=8，
∵GA=2，
∴GB=6．
∴GC•KG=12，
当点G在线段AB延长线上时（如图2）
∵△BAE≌△CAD
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠BGK=∠CGA，
∴△CGA∽△BGK，
∴(AG)/(KG)=(CG)/(GB)，
∴AG•GB=GC•KG；
∵AC=8，
∴AB=8，
∵GA=2，
∴GB=10
∴GC•KG=20．