如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD．（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．①依题意补全图1；②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2

Question

如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD．
（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
①依题意补全图1；
②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；
（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）①补全图形如图1，

②判断AE=BD，
证明：如图2

连接AC，
∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，CA=CB，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

CB=CA

∠BCD=∠ACE

CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE；
（2）判断：DA²+DC²=DB²；
（3）判断：FA²+FC²=FB²，
证明：如图3，

连接AC，
∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，CA=CB，
将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF，EA，
∴CE=CF，∠FCE=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE=60°，FE=FC，
∴∠BCF=∠ACE，
在△BCF和△ACE中，

CB=CA

∠BCF=∠ACE

CF=CE

，
∴△BCF≌△ACE，
∴FB=AE，
∵∠AFC=150°，∠CFE=60°，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AEF中，
FA²+FE²=AE²，
∴FA²+FC²=FB²．