如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是BD的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Question

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是

BD

的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已证），
∴(AC)/(BC)=(CD)/(AC)，即AC²=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD=√(AC2−CD2)=2√(5)，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF=√(DF2+AD2)=2√(6)．