四边形对角是否互补?

Question

四边形对角是否互补?

Answer 1

不是所有的四边形对角都互补,但是对角互补的四边形一定是圆内接四边形~已知：四边形ABCD中,∠BAD＋∠BCD＝180°
求证：四边形ABCD内接于圆.
证明：假设四边形ABCD不内接于圆,过B、A、D三点作⊙O,则点C不在⊙O上.
（1）如果点C在⊙O外,连结AC交⊙O于点P,连结DP、BP,
则∠APD＞∠ACD,∠APB＞∠ACB
∴∠APD+∠APB＞∠ACD＋∠ACB
即∠DPB＞∠BCD
∵西边形ABPD内接于⊙O,
∴∠BAD＋∠BPD＝180°
∴∠BAD＋∠BCD＜180°
这与已知∠BAD＋∠BCD＝180°相矛盾,所以点C不可能在⊙O外.
（2）如果点C在⊙O内,连结AC并延长交⊙O于点Q,连结DQ,CQ,
〔一下用类似的方法证明点C不可能在⊙O内〕
由（1）和（2）知,点C只能在⊙O上,即假设不成立.
∴四边形ABCD内接于圆.
（请参阅初三几何课本） 7