如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC的延长线交于P，求证：S△PMN=14S四边形ABCD．

Question

如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC的延长线交于P，求证：S_△PMN=(1)/(4)S_{四边形ABCD}．

Answer 1

如图所示，连接DM，BM，
∵M是AC的中点，
∴△ADM的面积=(1)/(2)×△ACD的面积，△ABM的面积=(1)/(2)×△ACB的面积，
∴△ADM的面积+△ABM的面积=(1)/(2)（△ACD的面积+△ACB的面积）=(1)/(2)×四边形ABCD的面积，
∵M是AC的中点，
∴△BPM的面积=△MPC的面积+△MBC的面积
=(1)/(2)×△ACP的面积+(1)/(2)×△ABC的面积
=(1)/(2)×△ABP的面积，
∵N是BD的中点，
∴△BPN的面积=(1)/(2)×△BDP的面积，△BMN的面积=(1)/(2)×△BDM的面积，
∴S_△PMN=△BPM的面积-△BPN的面积-△BMN的面积
=(1)/(2)×△ABP的面积-(1)/(2)×△BDP的面积-(1)/(2)×△BDM的面积
=(1)/(2)（△ABP的面积-△BDP的面积-△BDM的面积）
=(1)/(2)（△ADM的面积+△ABM的面积）
=(1)/(2)×(1)/(2)×S_{四边形ABCD}
=(1)/(4)S_{四边形ABCD}