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对于课本复习题18的第14题“如图(1),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG.)”,小华在老师的
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对于课本复习题18的第14题“如图(1),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG.)”,小华在老师的启发下对题目进行了拓广探索,发现:当原题中的“中点E”改为“直线BC上任意一点(B、C两点除外)时”,结论AE=EF都能成立.现请你证明下面这种情况:
如图(2),四边形ABCD是正方形,点E为BC反向延长线上一点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点F.求证:AE=EF.
如图(2),四边形ABCD是正方形,点E为BC反向延长线上一点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点F.求证:AE=EF.
▼优质解答
答案和解析
证明:如图,
在AB延长线上截取BG=BE,连接EG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°.
又∵BG=BE,
∴AG=CE.
∵∠ABC=∠BCD=90°,BG=BE,CM为正方形外角平分线
∴∠AGE=∠ECF=45°
∵∠ABE=90°,∠AEF=90°
∴∠AEB+∠EAG=90°,∠AEB+∠FEC=90°
∴∠EAG=∠FEC
又AG=CE,∠AGE=∠ECF,
在△EAG和△FEC中,
,
∴△EAG≌△FEC(ASA),
∴AE=EF.
在AB延长线上截取BG=BE,连接EG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°.
又∵BG=BE,
∴AG=CE.
∵∠ABC=∠BCD=90°,BG=BE,CM为正方形外角平分线
∴∠AGE=∠ECF=45°
∵∠ABE=90°,∠AEF=90°
∴∠AEB+∠EAG=90°,∠AEB+∠FEC=90°
∴∠EAG=∠FEC
又AG=CE,∠AGE=∠ECF,
在△EAG和△FEC中,
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∴△EAG≌△FEC(ASA),
∴AE=EF.
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