求平行四边形和菱形的所有性质

Question

求平行四边形和菱形的所有性质

Answer 1

平行四边形
定义:在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
判定：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
性质：
（1）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.
（2）平行四边形的对角相等,两邻角互补.
（3）过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.
（4）平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.
（5）平行四边形的面积等于底和高的积.（可视为矩形）
（6）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分.*注：正方形,长方形以及菱形也是一种特殊的平行四边形.
（7）平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）.
(8)平行四边形对角相等,对边平行且相等,邻角互补（相加角度为180度）.矩形,菱形,正方形都是特殊的平行四边形.
矩形
定义：
有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的对角线相等,四个角都是直角
性质：
1．矩形的两个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）,它有两条对称轴.
5．矩形具有平行四边形的所有性质
正方形
定义：
在同一平面内四条边都相等且一个角是直角的四边形叫做正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形.
有一个角为直角的菱形是正方形.
四边形对角线相等且互相垂直平分
性质：
1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
2、内角：四个角都是90°；
3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
4、对称性：既是中心对称图形,又是轴对称图形（有四条对称轴）.5、形状：正方形也属于长方形的一种.
判定：
1：对角线相等的菱形是正方形.
2：对角线互相垂直的矩形是正方形
3：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形.
4：一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形.
5：一组邻边相等的矩形是正方形.
6：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
7：四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
8：有一个角为直角的菱形是正方形.
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
菱形
定义：在一个平面内一组邻边相等的平行四边形是菱形
性质：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等；
3、对角相等,邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角,
5、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,
6、在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍.7、菱形具备平行四边形的一切性质.
判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边相等的四边形是菱形
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形.菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形 ,对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形.）
菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.