（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长．

Question

（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6√(3)，AF=4√(3)，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，

∠AFD＝∠C

∠ADF＝∠DEC

∴△ADF∽△DEC．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴(AD)/(DE)＝(AF)/(CD)，∴DE=(AD•CD)/(AF)=(6√(3)×8)/(4√(3))=12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√(DE2−AD2)=√(122−(6√(3))2)=6．