四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID．试证：IAIBICID是矩形．（第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题）

Question

四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为I_A，I_B，I_C，I_D．
试证：I_AI_BI_CI_D是矩形．（第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题）

Answer 1

连接AI_C，AI_D，BI_C，BI_D和DI_B．
易得∠AI_CB=90°+(1)/(2)∠ADB=90°+(1)/(2)∠ACB=∠AI_DB，
∴A，B，I_D，I_C四点共圆．
同理，A，D，I_B，I_C四点共圆．此时
∠AI_CI_D=180°-∠ABI_D=180°-(1)/(2)∠ABC，
∠AI_CI_B=180°-∠ADI_B=180°-(1)/(2)∠ADC，
∴∠AI_CI_D+∠AI_CI_B
=360°-(1)/(2)（∠ABC+∠ADC）
=360°-(1)/(2)×180°=270°．
故∠I_BI_CI_D=90°．
同样可证I_AI_BI_CI_D其它三个内角皆为90°．该四边形必为矩形．