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设A,B为随机事件,且P(A)=14,P(B|A)=13,P(A|B)=12,令X=1,A发生0,A不发生,Y=1,B发生0,B不发生,求:(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(Ⅱ)X和Y的相关系数ρXY.

题目详情
设A,B为随机事件,且P(A)=
1
4
,P(B|A)=
1
3
,P(A|B)=
1
2
,令X=
1,A发生
0,A不发生
,Y=
1,B发生
0,B不发生
,求:
(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)X和Y的相关系数ρXY
▼优质解答
答案和解析

(I)
由于P(AB)=P(A)P(B|A)=
1
4
×
1
3
=
1
12
P(B)=
P(AB)
P(A|B)
1
6

所以,
P{X=1,Y=1}=P(AB)=
1
12

P{X=1,Y=0}=P(A
.
B
)=P(A)−P(AB)=
1
6

P{X=0,Y=1}=P(
.
A
B)=P(B)−P(AB)=
1
12

P{X=0,Y=0}=P(
.
A
.
B
)=1−P(A+B)=1−P(A)−P(B)+P(AB)=
2
3

故(X,Y)的概率分布为
Y
X
0 1
0
2
3
 
1
12
 
1  
1
6
1
12
 
(II)
X的概率分布为:
X 0 1
P  
3
4
1
4
 
Y的概率分布为:
Y 0 1
P
5
6
 
1
6
 
则:EX=
1
4
,EY=
1
6
DX=
3
16
,DY=
5
36
,E(XY)=
1
12

故:Cov(X,Y)=E(XY)−EX•EY=
1
24
,从而ρXY=
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Cov(X,Y)
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