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设A,B为随机事件,且P(A)=14,P(B|A)=13,P(A|B)=12,令X=1,A发生0,A不发生,Y=1,B发生0,B不发生,求:(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(Ⅱ)X和Y的相关系数ρXY.
题目详情
设A,B为随机事件,且P(A)=
,P(B|A)=
,P(A|B)=
,令X=
,Y=
,求:
(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)X和Y的相关系数ρXY.
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(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)X和Y的相关系数ρXY.
▼优质解答
答案和解析
(I)
由于P(AB)=P(A)P(B|A)=
×
=
,P(B)=
=
,
所以,
P{X=1,Y=1}=P(AB)=
,
P{X=1,Y=0}=P(A
)=P(A)−P(AB)=
,
P{X=0,Y=1}=P(
B)=P(B)−P(AB)=
,
P{X=0,Y=0}=P(
)=1−P(A+B)=1−P(A)−P(B)+P(AB)=
,
故(X,Y)的概率分布为
(II)
X的概率分布为:
Y的概率分布为:
则:EX=
,EY=
,DX=
,DY=
,E(XY)=
,
故:Cov(X,Y)=E(XY)−EX•EY=
,从而ρXY=
(I)
由于P(AB)=P(A)P(B|A)=
1 |
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3 |
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12 |
P(AB) |
P(A|B) |
1 |
6 |
所以,
P{X=1,Y=1}=P(AB)=
1 |
12 |
P{X=1,Y=0}=P(A
. |
B |
1 |
6 |
P{X=0,Y=1}=P(
. |
A |
1 |
12 |
P{X=0,Y=0}=P(
. |
A |
. |
B |
2 |
3 |
故(X,Y)的概率分布为
Y X | 0 | 1 | ||||
0 |
|
| ||||
1 |
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|
X的概率分布为:
X | 0 | 1 | ||||
P |
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Y | 0 | 1 | ||||
P |
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故:Cov(X,Y)=E(XY)−EX•EY=
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