（2014•上海模拟）为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2-50x+900，且每处

Question

（2014•上海模拟）为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x²-50x+900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
（1）当x∈[10，15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

Answer 1

（1）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P=（10+10）x-y
=20x-x²+50x-900
=-x²+70x-900
=-（x-35）²+325，x∈[10，15]．
∵x=35∉[10，15]，P=-（x-35）²+325在[10，15]上为增函数，
可求得P∈[-300，-75]．                                         …（5分）
∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．                      …（7分）
（2）设平均处理成本为Q＝(y)/(x)＝x+(900)/(x)−50≥2√(x•(900)/(x))−50＝10，…（11分）
当且仅当x＝(900)/(x)时等号成立，由x＞0得x=30．
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．     　 …（14分）