求cos(na)的以cos（a）为单位的展开式.cos(2a)=[cos(a)]^2-1cos(3a)=4[cos(a)]^3-3cos(a)cos(4a)=8[cos(a)]^4-8[cos(a)]^2+1cos(5a)=16[cos(a)]^5-20[cos(a)]^3+5[cos(a)]那么有没有通用的公式?如何推导?以上计算推导利用了sina^2

Question

求cos(na) 的以 cos（a）为单位的展开式.
cos(2a)=[cos(a)]^2-1
cos(3a)=4[cos(a)]^3-3cos(a)
cos(4a)=8[cos(a)]^4-8[cos(a)]^2+1
cos(5a)=16[cos(a)]^5-20[cos(a)]^3+5[cos(a)]
那么有没有通用的公式?如何推导?
以上计算推导利用了
sina^2=1-cosa^2
cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb
sina*sinb=-0.5*(cos(a+b)-cos(a-b))
然后一个个递推太烦了
.
用复数
设
Z=cosa+sina i
那么Z^2 = cos2a+sin2ai=(cosa+sinai)(cosa+sinai)=..
这样做也太烦经常遇到sin(na)转换为H(cos(a))的形式
那么傅立叶呐?
估计给出公式用归纳法证明还是简单的
参考知道上的回答
cos na无法展开，已经是最简，或者说
n=2时
根据cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos 2a =cos(a+a)=(cos a)^2-(sin a)^2
sin 2a=2sinacosa
但是如果是说这种，那么n一定要为整数
则
cos 3a=cos (2a+a)=cos2acosa-sin2asina
=cosa(cosa^2-sina^2)-2(sina)^2*cosa
=cosa^3-3sina^2*cosa
cos 4a=cos(2a+2a)=(cos2a)^2-(sin2a)^2
=cosa^4+sina^4-6(cosa)^2*(sina)^2
可以看出，当n分别是奇数偶数的时候，结果不同……
更贪心一点而
能否求
cos( (n/m)a)= H(cos(a)) H为以cos(a)为参数的莫个
多项式？
估计m最大为13吧，其他情况估计是不行的
楼下的,我写的公式就是用递归分解做的,
可是我要的是通用的
COS(nx)=...的公式

Answer 1

好像没有显式,只能靠递推cos(n+1)x=2cosxcosnx-cos(n-1)x所以只要cosnx cos(n-1)x都用cosx表达了,那么cos(n+1)x就可以用cosx表达了写得明白一点就是:设cosnx=an,n*(cosx)^n+...+an,1*cosx+an,0那么代入递推式,比较(c...