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已知向量m=(cosx,sinx)和向量n=(根号2-sinx,cosx),x属于(π,2π),且|m+n|=(8/5)乘以根号2,求cos(x/2+π/8)的值
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已知向量m=(cosx,sinx)和向量n=(根号2-sinx,cosx),x属于(π,2π),且|m+n|=(8/5)乘以根号2,求cos(x/2+π/8)的值
▼优质解答
答案和解析
由此可知:(cosx+√2-sinx)^2+(sinx+cosx)^2=(8√2/5)^2
即为:1+2(√2- sinx)cosx+2-2√2sinx+1+2sinxcosx=128/25
即4+2√2(cosx-sinx)=128/25.即 cos(x-π/4)=28/100.
即2(cos(x/2-π/8))^2-1=28/100.即cos(x/2-π/8)^2=16 /25.
则cos(x/2-π/8)=4/5或-4/5
而cos(x/2+π/8)=cos(x/2-π/8+π/4)=cos(x-π/8)√2/2+sin(x-π/8)√2/2
=cos(x-π/8)√2/2+√(1-(cos(x/2-π/8))^2)))√2/2.
当 cos(x/2-π/8)=4/5时,cos(x/2+π/8)=4√2/10±3√2/10,即为7√2/10,或√2/10.
当 cos(x/2-π/8)=-4/5时,cos(x/2+π/8)=-4√2/10±3√2/10,即为-7√2/10,或-√2/10.
即为:1+2(√2- sinx)cosx+2-2√2sinx+1+2sinxcosx=128/25
即4+2√2(cosx-sinx)=128/25.即 cos(x-π/4)=28/100.
即2(cos(x/2-π/8))^2-1=28/100.即cos(x/2-π/8)^2=16 /25.
则cos(x/2-π/8)=4/5或-4/5
而cos(x/2+π/8)=cos(x/2-π/8+π/4)=cos(x-π/8)√2/2+sin(x-π/8)√2/2
=cos(x-π/8)√2/2+√(1-(cos(x/2-π/8))^2)))√2/2.
当 cos(x/2-π/8)=4/5时,cos(x/2+π/8)=4√2/10±3√2/10,即为7√2/10,或√2/10.
当 cos(x/2-π/8)=-4/5时,cos(x/2+π/8)=-4√2/10±3√2/10,即为-7√2/10,或-√2/10.
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