求解：Cos平方A＋Cos平方B＋Cos平方C＝1,判断三角形是什么三角形!（详细）

Question

求解：Cos平方A＋Cos平方B＋Cos平方C＝1,判断三角形是什么三角形! （详细）

Answer 1

解
cos²A+cos²B+cos²C=1
2cos²A+2cos²B+2cos²C=2.(两边同乘以2.)
(1+cos2A)+(1+cos2B)+2cos²C=2,(倍角公式)
cos2A+cos2B+2cos²C=0.(整理)
2cos(A+B)cos(A-B)+2cos²C=0.(和差化积)
cos²C+cos[180º-C]cos(A-B)=0,(整理,又A+B=180º-C,代换.)
cos²C-cosCcos(A-B)=0
(cosC)[cosC-cos(A-B)]=0.(提取公因式cosC)
又cosC-cos(A-B)
=cos[180º-(A+B)]-cos(A-B)
=-cos(A+B)-cos(A-B)
=-[cos(A+B)+cos(A-B)]
=-2cosAcosB
∴原来等式可化为:
cosAcosBcosC=0
三个cosA,cosB,cosC中,必有一个为0.
∴结合A,B,C均在(0º,180º)内,可知,
仅有一个角为90º.
∴该三角形为直角三角形.
∴