求证tana+1/tan(π/4+a/2)=1/cosa

Question

求证tana+1/tan(π/4+a/2)=1/cosa

Answer 1

tan α + 1/tan (π/4+α/2)
先利用倍角公式将α拆为为α/2,可得：
=(2tan α/2)/(1-tan^2 α/2) + 1/tan (π/2+α/2-π/4)
将π/4+α/2看为π/2+α/2-π/4利用切化弦公式并用诱导公式将分母提至分子位置：
=(2tan α/2)/(1-tan^2 α/2) - tan (α/2-π/4)
用两角和差的正切公式展开：
=(2tan α/2)/(1-tan^2 α/2) - (tan α/2 -1)/(1 + tan α/2)
将右项通分后合并,得：
=(2tan α/2) + (tan α/2 - 1)^2/(1-tan^2 α/2)
=(tan^2 α/2 + 1)/(1-tan^2 α/2)
到这边就好办了,剩下的就没什么好说了.
=[(sin^2 α/2)/(cos^2 α/2) + 1]/[(1- sin^2 α/2)/(cos^2 α/2)]
=1/[(cos^2 α/2) - (sin^2 α/2)]
=1/cos α