求证1/sin2x1/sin4x1/sin8x...1/sin2^nx=cotx-cot2^nx

Question

求证1/sin2x 1/sin4x 1/sin8x ...1/sin2^nx=cotx-cot2^nx

Answer 1

题目打错了吧,应该是1/sin2x+1/sin4x+1/sin8x+...+1/sin2^nx=cotx-cot2^nx
证明：有万能公式：sin2x=2tanx/[1+(tanx)^2] (1)
tan2x=2tanx/[1-(tanx)^2](2),得
1/sin2^nx={1+[tan2^(n-1)x]^2}/2tan2^(n-1)x （注：由(1)式而来）
=(2-{1-[tan2^(n-1)x]^2})/2tan2^(n-1)x
=2/2tan2^(n-1)x - 2/tan2^nx （注：由(2)式而来）
=cot2^(n-1)x-cot2^nx
所以左边=cotx-cot2x+cot2x-cot4x+cot4x-cot8x+...+cot2^(n-1)x-cot2^nx
=cotx-cot2^nx
证毕.
还有,归纳法是懒人的做法,不利于拓展思维.