求y''+2y'+y=3e^-x的通解

Question

求y''+2y'+y=3e^-x的通解

Answer 1

y''+2y'+y=3e^-x
齐次特征方程
r^2+2r+1=0
r=-1
所以齐次通解是
y=(C1+C2x)e^(-x)
由于等号右边包含在通解中
所以设非齐次特解为
y=ax^2e^(-x)
y'=2axe^(-x)-ax^2e^(-x)
y''=2ae^(-x)-2axe^(-x)-2axe^(-x)+ax^2e^(-x)
=2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)
代入原方程得
2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)+2[2axe^(-x)-ax^2e^(-x)]+ax^2e^(-x)
=2ae^(-x)=3e^-x
a=3/2
所以特解是y=3/2x^2e^(-x)
所以非齐次通解是
y=(C1+C2x)e^(-x)+3/2x^2e^(-x)