证明3/2∫dx/[(x-1/2)^2+3/4]等于√3arctan(2x-1/√3)+c中的问题令(x-1/2)²+3/4=(3/4)tan²θ+3/4=(3/4)sec²θ设(x-1/2)=√(3/4)tanθ,dx=√(3/4)sec²θdθtanθ=2(x-1/2)√3=(2x-1)/√3=>θ=arctan[

Question

证明3/2∫dx/[(x-1/2)^2+3/4] 等于√3arctan(2x-1/√3)+c中的问题
令(x - 1/2)² + 3/4 = (3/4)tan²θ + 3/4 = (3/4)sec²θ
设(x - 1/2) = √(3/4)tanθ,dx = √(3/4)sec²θdθ
tanθ = 2(x - 1/2)√3 = (2x - 1)/√3 => θ = arctan[(2x - 1)/√3],解题步骤中的dx = √(3/4)sec²θdθ是怎么来的?

Answer 1

dx = ...dθ,这个是微分过程
两边除以dθ,dx/dθ = ...可以理解为函数x对自变量θ的导数
x - 1/2 = √(3/4)tanθ,两边求导,实际上这是微分过程,两边分别乘上微元dx和dθ
(x - 1/2)' dx = √(3/4)(tanθ)' dθ
dx = √(3/4)sec²θ dθ,tanθ的导数是sec²θ,这个你知道吧?