关于曲率的推导过程中不明白的一点∵tanα=y'∴sec²α（dα/dx）=y''解释下这一步怎么来的?

Question

关于曲率的推导过程中不明白的一点
∵tanα=y'
∴sec²α（dα/dx）=y''
解释下这一步怎么来的?

Answer 1

∵(tanα)'＝sec²α
α又是关于x的函数
但是α与x的函数关系式不能直接找出
∴α对x的求导就暂时写作dα/dx
∴sec²α（dα/dx）=y''
至于求证：lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e,证明如下：
令y＝[1+(1/x)]^x两边同时取自然对数,得：
㏑y＝㏑{[1+(1/x)]^x}
即㏑y＝x㏑[1+(1/x)]
lim(x→∞)x㏑[1+(1/x)]
＝lim(x→∞){㏑[1+(1/x)]}/（1/x）
根据洛必达法则：
lim(x→∞){㏑[1+(1/x)]}/（1/x）
＝lim(x→∞){(-1/x²)[x/（x+1）]}/(-1/x²)
＝lim(x→∞)x²/[x（x+1）]
＝lim(x→∞)2x/2x+2
＝2/2
＝1
∴lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e