已知csc(α-β)=3sin(α+β),求1/4sin^22α+sin^2β+cos^4α值已知csc(α-β)=3sin(α+β),求1/4sin^2（2α）+sin^2（β）+cos^4（α）值

Question

已知csc(α-β)=3sin(α+β),求1/4sin^22α+sin^2β+cos^4α值
已知csc(α-β)=3sin(α+β),求1/4sin^2（2α） +sin^2（β） +cos^4（α）值

Answer 1

由csc(α-β)=3sin(α+β)
得3sin(α+β)sin(α-β)=1
运用积化和差 得
cos2β-cos2α=2/3
而1/4sin^2（2α） +sin^2（β） +cos^4（α）
=1/4sin^2(2α)+(1-cos2β)/2+[(1+cos2α)/2]^2
=1/4sin^2(2α)+(1-cos2β)/2+(1+2cos2α)/4+1/4cos^2(2α)
=1/4+1/2+1/4-(cos2β)/2+(cos2α)/2
将cos2β-cos2α=2/3代入得
原式=2/3