高数不定积分用分部积分求∫arcsinx/（x∧2）dx

Question

高数不定积分
用分部积分求∫arcsinx/（x∧2）dx

Answer 1

∫ arcsinx / x² dx
= ∫ arcsinx d(-1/x)
= arcsinx * (-1/x) - ∫ (-1/x) d(arcsinx)
= (-arcsinx) / x + ∫ 1/[x√(1-x²)] dx
令x = sinθ,dx = cosθ dθ,√(1-x²) = √(1-sin²θ) = cosθ
cscθ = 1/sinθ = 1/x,cotθ = √(1-x²) / x
原式= (-arcsinx) / x + ∫ cosθ/(sinθ*cosθ) dθ
= (-arcsinx) / x + ∫ cscθ dθ
= (-arcsinx) / x + ∫ cscθ * (cscθ+cotθ) / (cscθ+cotθ) dθ
= (-arcsinx) / x + ∫ (cscθcotθ+csc²θ) / (cscθ+cotθ) dθ
= (-arcsinx) / x + ∫ -d(cscθ+cotθ) / (cscθ+cotθ)
= (-arcsinx) / x - ln|cscθ + cotθ| + C
= (-arcsinx) / x - ln|[1+√(1-x²)] / x| + C
= (-arcsinx) / x - ln|1+√(1-x²)| + ln|x| + C