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一个正整数,它分别加上75和48以后都不是120的倍数,但这两个和的乘积却能被120整除.这个正整数最小是多少?
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一个正整数,它分别加上75和48以后都不是120的倍数,但这两个和的乘积却能被120整除.这个正整数最小是多少?
▼优质解答
答案和解析
设这个数是a,已知条件说明:
(1)a+75不是120的倍数
(2)a+48不是120的倍数
(3)(a+75)×(a+48)是120的倍数
因为120=2×2×2×3×5
a+75和a+48的奇偶性不同,所以只有四种可能:
(1)a+75是24的倍数且不是5的倍数,a+48是5的倍数且不是24的倍数.
(2)a+75是5的倍数且不是24的倍数,a+48是24的倍数且不是5的倍数
(3)a+75是40的倍数且不是3的倍数,a+48是3的倍数且不是40的倍数.这样的a不存在.
(4)a+75是3的倍数且不是40的倍数,a+48是40的倍数且不是3的倍数.这样的a不存在.
分情况讨论
对于第(1)种情况
说明a除以24余21,且a除以5余2
此时a最小为117.
对于第(2)种情况
说明a除以5余0,且a除以24余0.也就是a是5和24的公倍数.
此时a最小为120.
所以,a最小为117.
(1)a+75不是120的倍数
(2)a+48不是120的倍数
(3)(a+75)×(a+48)是120的倍数
因为120=2×2×2×3×5
a+75和a+48的奇偶性不同,所以只有四种可能:
(1)a+75是24的倍数且不是5的倍数,a+48是5的倍数且不是24的倍数.
(2)a+75是5的倍数且不是24的倍数,a+48是24的倍数且不是5的倍数
(3)a+75是40的倍数且不是3的倍数,a+48是3的倍数且不是40的倍数.这样的a不存在.
(4)a+75是3的倍数且不是40的倍数,a+48是40的倍数且不是3的倍数.这样的a不存在.
分情况讨论
对于第(1)种情况
说明a除以24余21,且a除以5余2
此时a最小为117.
对于第(2)种情况
说明a除以5余0,且a除以24余0.也就是a是5和24的公倍数.
此时a最小为120.
所以,a最小为117.
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