微元法建立微分方程（解决溶液浓度的问题）题目是：一容器在开始时盛有水100升,其中含净盐10公斤,然后以每分钟3升的速率注入清水,同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出,容器中装

Question

微元法建立微分方程（解决溶液浓度的问题）
题目是：一容器在开始时盛有水100升,其中含净盐10公斤,然后以每分钟3升的速率注入清水,同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出,容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀,求过程开始后1小时溶液的含盐量.

这个题我的疑问在于解答过程中dx = [- x/(100+t)]*2dt 里的系数“2”是怎么来的,我认为减少的浓度就应该是x/(100+t) ,怎么会有2呢,百思不得其解.

Answer 1

这里的2对应流出的流量2升/小时.
从溶质的含量变化考虑会比较清楚.
设t小时后溶质的总量为x(t)公斤.
此时溶液的总体积为100+3t-2t = 100+t升,
因此溶质浓度为x(t)/(100+t)公斤/升.
在dt时间内, 有2dt升溶液流出, 其中含有溶质x(t)/(100+t)·2dt公斤.
即得溶质变化量d(x(t)) = -x(t)/(100+t)·2dt.
x'(t) = -2x(t)/(100+t).