一道高数题,这个题用到微积分,一个容量400L的盐水其中含盐100kg,纯净水以每分钟2L的速度流入容器,同时容器以相同的流速往外释放盐水,问一小时后,容器里的盐的浓度是多少?（假设在任何时

Question

一道高数题,
这个题用到微积分,一个容量400L的盐水其中含盐100kg,纯净水以每分钟2L的速度流入容器,同时容器以相同的流速往外释放盐水,问一小时后,容器里的盐的浓度是多少?（假设在任何时间里,容器内的盐都是均匀分布）

Answer 1

设容器里盐的浓度与时间关系为ρ(t),在dt时间内流出的体积为dV,带走的盐量为ρ(t)dV,已知dV/dt=2L/min,则
dρ=(400ρ-ρdv)/400-ρ=-ρdV/400
dρ/dt=-(ρ/400)dV/dt=-ρ/200
于是dρ/ρ=-dt/200
ρ(t)=ρ₀e^(-t/200),ρ₀=100/400=1/4kg/L
ρ(t)=e^(-t/200)/4
故一小时后容器中盐的浓度为：ρ(60)=e^(-3/10)/4≈0.185kg/L