如果一个数的三次方根是另一个数的算术平方根,则这个数的三次方根有可能是无理数吗?不要告诉我肯定是有理数,我求证明...

Question

如果一个数的三次方根是另一个数的算术平方根,则这个数的三次方根有可能是无理数吗?
不要告诉我肯定是有理数,我求证明...

Answer 1

考察a^(1/3),分两种情况：①a为有理数,假设a=p/q,p、q为互素的正整数(p、q无公约数),a^(1/3)=[p^(1/3)]/[q^(1/3)]；很明显,如果p、q均为立方数,那么a^(1/3)为有理数；下面证明如果p、q至少有一个不是立方数,那么a^(1/3)必是无理数；不妨设p不是立方数,那么p^(1/3)必为无理数,否则存在互素的正整数u、v满足p^(1/3)=u/v,p=(u/v)^3,v≠1,否则p为立方数,矛盾!又由于u、v互素,所以v不能整除u,这和p为整数的假设矛盾!所以如果p不是立方数,p^(1/3)必为无理数；所以只要p、q不全为立方数,p^(1/3)、q^(1/3)至少有一个是无理数,又由于p、q互素,所以a^(1/3)必为无理数；②a为无理数,a^(1/3)必为无理数,否则存在互素的正整数m、n满足a^(1/3)=n/m,a=(n^3)/(m^3),即a为有理数,矛盾!所以a为无理数时,a^(1/3)必为无理数.