设集合M={1,2,3,…,1000},现对M的任一非空子集X,令ax表示X中最大数与最小数之和,求所有这样的ax的算术平均值

Question

设集合M={1,2,3,…,1000},现对M的任一非空子集X,令ax表示X中最大数与最小数之和,求所有这样的ax的算术平均值

Answer 1

我感觉1楼2楼都不对吧,结果是对的,可过程有问题啊~
错误原因先不说了.个人认为正确做法如下：
对于M中的任意一个数n,n为最小值时意味着,从1—n-1都不会在这个子集中出现,而n+1—1000则没有限制,这样的子集共有 2^(n-1)个.同理,n为最大值时的子集为2^(1000-n)个.
例如：对于2而言,1是最大值意味着从3-1000都没有,而比2小的（也就是1了）没有限制,所以,这样的集合有2^(2-1)=2个,而2是最小值说明比2小的没有,3-1000没有限制,这样的集合有2^998个.
所以,所有ax的最大值的和是：S=1*2^0+2*2^1……1000*2^999.
所有ax的最小值的和是：s=1*2^999+2*2^998……1000*2^0
所以,最后结果是
（S+s）/(2^1000-1) =(2^0*1001+2^1*1001……2^999*1001)/(2^0+2^1……2……999)=1001